Question

已知圓A：（x+1）²+y²=8，點B（1，0），D為圓上一動點，過BD上一點E作一條直線交AD于點S，且S點滿足

SE

=

1

2

(

SD

+

SB

)，

SE

•

BD

=0，
（1）求點S的軌跡方程；
（2）若直線l的方程為：x=2，過B的直線與點S的軌跡相交于F、G兩點，點P在l上，且PG∥x軸，求證：直線FP經過一定點，并求此定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題設知E為BD的中點，

SE

⊥

BD

，SD=SB，所以SA+SB=SA+SD=AD=2

2

＞AB=2，由此能夠推導出S的軌跡方程．
（2）當FG⊥x軸時，由F(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，知P(2，-

2

2

)，直線APy=-

2

x+

3 2

2

過定M(

3

2

，0)；當FG與x軸不垂直時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（2，y₂），設直線FG方程為y=k（x-1）．然后分k=0和k≠0兩種情況分別討論．

解答：解：（1）∵

SE

=

1

2

(

SD

+

SB

)
∴E為BD的中點（1分）
∵

SE

•

BD

=0
∴

SE

⊥

BD

（2分）
∴SD=SB，
∴SA+SB=SA+SD=AD=2

2

＞AB=2
∴S的軌跡是以A、B為焦點的橢圓（4分）
這里：2a=2

2

，a=

2

，c=1∴b²=a²-c²=1
∴S的軌跡方程為：

x2

2

+y2=1（5分）
（2）①當FG⊥x軸時，F(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)∴P(2，-

2

2

)
∴直線AP：y=-

2

x+

3 2

2

∴AP過定點M(

3

2

，0)（7分）
②當FG與x軸不垂直時
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（2，y₂），設直線FG方程為y=k（x-1）
當k=0時直線FG顯然過M(

3

2

，0)（8分）
當k≠0時，

FM

=(

3

2

-x1，-y1)，

PM

=(-

1

2

，-y2)（9分）
∴(

3

2

-x1)•(-y2)-(-y1)•(-

1

2

)=x1y2-

3

2

y2-

1

2

y1=(

y1

k

+1)y2-

3

2

y2-

1

2

y1=

y1y2

k

-

y1+y2

2

（11分）
由

y=k(x-1) x2+2y2=2

得（1+2k²）y²+2ky-k²=0
∴y1+y2=

-2k

1+2k2

，y1y2=

-k2

1+2k2

（12分）
∴(

3

2

-x1)•(-y2)-(-y1)•(-

1

2

)=

-k

1+2k2

+

k

1+2k2

=0（13分）
∴

FM

∥

PM

∴此時直線FG也過(

3

2

，0)
∴直線FG必過定點(

3

2

，0)．（14分）

點評：本題考查直線和圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論方法的合理運用．