Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個側面都是等邊三角形，AC與BD的交點為O，E為側棱SC上一點．
（Ⅰ）當E為側棱SC的中點時，求證：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面SAC；
（Ⅲ）（理科）當二面角E-BD-C的大小為45°時，試判斷點E在SC上的位置，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）做出輔助線，連接OE，由條件可得SA∥OE．根據因為SA?平面BDE，OE?平面BDE，得到SA∥平面BDE．
（II）建立坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出要用的向量的坐標，設出平面的法向量，根據法向量與平面上的向量垂直，寫出一個法向量，根據兩個法向量垂直證明兩個平面垂直．
（III）本題是一個一個二面角為條件，寫出點的位置，做法同求兩個平面的夾角一樣，設出求出法向量，根據兩個向量的夾角得到點要滿足的條件，求出點的位置．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接OE，由條件可得SA∥OE．
因為SA?平面BDE，OE?平面BDE，所以SA∥平面BDE．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如圖所示的空間直角坐標系．
設四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，
則O（0，0，0），S（0，0，

2

），A（

2

，0，0），
B（0，

，2

，0），C（-

2

，0，0），D（0，-

2

，0）．
所以

AC

=（-2

2

0，0），

BD

=（0，-2

2

，0）．
設CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．
所以E（-

2

+

2

2

a，0，

2

2

a），

BE

=（-

2

+

2

2

a，-

2

，

2

2

a）．
設平面BDE法向量為n=（x，y，z），則

n• BD =0 n• BE =0

即

y=0 (- 2 + 2 2 a)x- 2 y+ 2 2 az=0

令z=1，得n=（

a

2-a

，0，1）．易知

BD

=（0，2

2

，0）是平面SAC的法向量．
因為n•

BD

=（

a

2-a

，0，1）•（0，-2

2

，0）=0，所以n⊥

BD

，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分）
（Ⅲ）設CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量為n=（

a

2-a

，0，1）．因為SO⊥底面ABCD，
所以

OS

=（0，0，

2

）是平面SAC的一個法向量．由已知二面角E-BD-C的大小為45°．
所以|cos（

OS

，n）|=cos45°=

2

2

，所以

2

( a 2-a )2+ 1 - 2

=

2

2

，解得a=1．
所以點E是SC的中點．

點評：本題考查用空間向量解決線線角和面面角，本題解題的關鍵是建立坐標系，把立體幾何的理論推導變化成數字的運算問題，這樣可以降低題目的難度，同學們只要細心都可以做對．