Question

已知函數f(x) =2x+1，x∈R.規定：給定一個實數x0，賦值x1= f(x0)，若x1≤255，則繼續賦值x2=" f(x1)" …，以此類推，若x n-1≤255，則xn= f(xn-1)，否則停止賦值，如果得到xn后停止，則稱賦值了n次（n∈N *）.已知賦值k次后該過程停止，則x0的取值范圍是 

A．（2k-9 ,2 k-8]

B．（2 k-8 -1, 2k-9-1]

C．（28-k -1, 29-k-1]

D．（27-k -1, 28-k-1]

Answer 1

C

提示1：由題意，可先解出x₁，x₂，x₃，從中發現規律，猜想出x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀=2^kx₀-2^k+1，再由題設條件x_n-1≤257，則x_n=f（x_n-1），否則停止賦值，可得到2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，解此二不等式即可得到x₀的取值范圍選出正確選項．
提示2：本題考查歸納推理，等比數列的求和公式，解題的特點是先列舉幾個特殊例子找出規律，從而利用規律得出結論，解答本題，理解賦值終止的條件是關鍵
解：由題意x₁=f（x₀）=2x₀-1；
x₂=f（x₁）=2x₁-1=2（2x₀-1）-1=2²x₀-2-1；
x₃=f（x₂）=2x₂-1=2（2²x₀-2-1）-1=2³x₀-2²-2-1；
…，
x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀-=2^kx₀-2^k+1；
令2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，
解得2^8-k+1＜x₀≤2^9-k+1
故x₀的取值范圍是（2^8-k+1，2^9-k+1]
故選C