Question

若函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，則一定有（　　）

• A、a＜0  b＞0  c＞0  d＜0
• B、a＜0  b＜0  c＞0  d＜0
• C、a＜0  b＞0  c＜0  d＜0
• D、a＜0  b＜0  c＜0  d＜0

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：由已知中函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象，根據其與y軸交點的位置，可以判斷d的符號，進而根據其單調性和極值點的位置，可以判斷出其中導函數圖象的開口方向（可判斷a的符號）及對應函數兩個根的情況，結合韋達定理，可分析出b，c的符號，進而得到答案．

解答： 解：∵函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點的縱坐標為負，故d＜0；
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象有兩個遞減區間，有兩個遞增區間，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c的圖象開口方向朝下，且于x軸有兩個交點，故a＜0，
又∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象的極小值點和極大值點在y軸兩側，且極小點離y軸近，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的兩根x₁，x₂滿足，
x₁+x₂＞0，則b＞0，x₁•x₂＜0，則c＞0，
綜上a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，
故選A

點評：本題考查的知識點是函數的圖象與圖象變化，其中根據圖象的形狀分析其導函數的性質是解答本題的關鍵，同時由于本題涉及到導數，二次函數的圖象和性質，函數的單調性，函數取極值的條件等諸多難點，故難度比較大．