Question

已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），若集合A={a1，a2，a3，…，am}(m∈N*)，且對任意的b∈M，存在a_i，a_j∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ₁a_i+λ₂a_j（其中λ₁，λ₂∈{-1，0，1}），則稱集合A為集合M的一個m元基底．
（Ⅰ）分別判斷下列集合A是否為集合M的一個二元基底，并說明理由；
①A={1，5}M={1，2，3，4，5}；
②A={2，3}，M={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅱ）若集合A是集合M的一個m元基底，證明：m（m+1）≥n；
（Ⅲ）若集合A為集合M={1，2，3，…，19}的一個m元基底，求出m的最小可能值，并寫出當m取最小值時M的一個基底A．

Answer 1

分析：（I）利用二元基底的定義加以驗證，可得A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一個二元基底，A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一個二元基底．
（II）設a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，計算出b=λ₁a_i+λ₂a_j的各種情況下的正整數個數并求出它們的和，結合題意得m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．
（III）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4，并且得到結論“基底中元素表示出的數最多重復一個”．再討論當m=4時，集合A的所有情況均不可能是M的4元基底，而當m=5時，M的一個基底A={1，3，5，9，16}，由此可得m的最小可能值為5．

解答：解：（Ⅰ）①A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一個二元基底．理由是3≠λ₁×1+λ₂×5；
②A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一個二元基底．理由是
1=-1×2+1×3，2=1×2+0×3，3=0×2+1×3，4=1×2+1×2，5=1×2+1×3，6=1×3+1×3．           …3分
（Ⅱ）不妨設a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，則
形如1×a_i+0×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數共有m個；
形如1×a_i+1×a_i（1≤i≤m）的正整數共有m個；
形如1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數至多有Cm2個；
形如-1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數至多有Cm2個．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），含n個不同的正整數，A為集合M的一個m元基底．
故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4．
當m=4時，m（m+1）-19=1，即用基底中元素表示出的數最多重復一個．…*
假設A=a₁，a₂，a₃，，a₄為M={1，2，3，…，19}的一個4元基底，
不妨設a₁＜a₂＜a₃＜a₄，則a₄≥10．
當a₄=10時，有a₃=9，這時a₂=8或7．
如果a₂=8，則由1=10-9，1=9-8，18=9+9，18=10+8，這與結論*矛盾．
如果a₂=7，則a₁=6或5．易知A={6，7，9，10}和A={5，7，9，10}都不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當a₄=11時，有a₃=8，這時a₂=7，a₁=6，易知A={6，7，8，11}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當a₄=12時，有a₃=7，這時a₂=6，a₁=5，易知A={5，6，7，12}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當a₄=13時，有a₃=6，a₂=5，a₁=4，易知A={4，5，6，13}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當a₄=14時，有a₃=5，a₂=4，a₁=3，易知A={3，4，5，14}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當a₄=15時，有a₃=4，a₂=3，a₁=2，易知A={2，3，4，15}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當a₄=16時，有a₃=3，a₂=2，a₁=1，易知A={1，2，3，16}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當a₄≥17時，A均不可能是M的4元基底．
當m=5時，M的一個基底A={1，3，5，9，16}．
綜上所述，m的最小可能值為5．…14分

點評：本題以一個集合為另一個集合的m元基底的討論為載體，著重考查了集合元素的討論和方程、不等式的整數解的討論和兩個計數原理等知識，屬于難題．