Question

證明：“0≤a≤

1

6

”是“函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為減函數”的充分不必要條件．

Answer 1

分析：利用充分性和必要性的定義證明．

解答：解：當a=0時，f（x）=ax²+2（a-1）x+2=-2x+2，此時函數在定義域上單調遞減，所以滿足條件．

當a≠0時，要使函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為減函數，
則有

a＞0 - 2(a-1) 2a ≥4

，即

a＞0 a≤ 1 5

，所以0≤a≤

1

5

，
綜上滿足函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為減函數的等價條件是0≤a≤

1

5

．
所以：“0≤a≤

1

6

”是“0≤a≤

1

5

”成立的充分不必要條件，
即：“0≤a≤

1

6

”是“函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為減函數”的充分不必要條件．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，先求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．