Question

已知圓C：x²+y²-2x-2y-2=0，其圓心為C，過點P（2，3）作一直線l；
（1）若直線l和圓C有交點，這該直線斜率的取值范圍是多少？
（2）若直線l與圓C交于A，B兩點，弦AB所對的圓心角為

2π

3

，求該直線的方程．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程，找出圓心C的坐標和半徑r，
（1）先求過P的切線方程，設過P與圓相切的方程的斜率為k，表示出切線的方程，由直線與圓相切，根據點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到此時k的值，故由直線l與圓C有交點，得到直線斜率的取值范圍；
（2）取AB得中點為M，連接CM，根據垂徑定理得到CM與AB垂直，由∠ACB的度數為

2π

3

求出∠ACM的度數為

π

3

，由AC的長得一半求出CM的長，即為C到AB的距離，當直線方程的斜率存在時，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到此時k的值，確定出直線的方程；當直線方程的斜率不存在時，顯然x=2滿足題意，綜上，得到所有滿足題意的直線方程．

解答：解：把圓的方程化為標準方程得：（x-1）2+（y-1）2=4，
可得圓C的圓心坐標為（1，1），半徑為2，
（1）設過P（2，3）的切線方程為y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0，
由圓心到直線的距離為d=

|k-1-2k+3|

1+k2

=2，解得k=0或-

4

3

，
所以若直線l與圓C有交點，該直線斜率的取值范圍是（-∞，-

4

3

]∪[0，+∞）；
（2）取AB得中點為M，連接CM，則CM⊥AB，
由∠ACB=

2π

3

，有∠ACM=

π

3

，
由于AC=r=2，所以CM=1，即C到AB的距離為1，
當直線方程的斜率存在時，則有d=

|k-1-2k+3|

1+k2

=1，解得k=

3

4

，
此時直線方程為3x-4y+6=0，
當直線的斜率不存在時，直線為x=2，點（1，1）到它的距離為1，也滿足題意，
綜上，直線方程為3x-4y+6=0或x=2．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：直線的斜截式方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，直角三角形的性質，利用了轉化及分類討論的思想，直線與圓的位置關系可以用d與r的大小關系來判斷，當0≤d＜r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離．