Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值為m
（1）作函數f（x）的圖象
（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|= ，

由分段函數的圖象畫法可得圖象如右

（2）解：由（1）知，當x=﹣ 時，f（x）的最大值為 ，即m= ；

∴a2+b2+2c2= ，

設a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2 ab+2 bc，

令2 ：2 =1：2，即8（1﹣t）=16t 得：t= ，

∴a2+b2+2c2=a2+ b2+ b2+2c2≥2 ab+4 bc= （ab+2bc）

∴ab+2bc≤ （a2+b2+2c2）= （當且僅當a2=c2= ，b2= 時取“=”號）

【解析】（1）討論x的范圍：x≤﹣ ，﹣ ＜x≤1，x≥1，去掉絕對值，寫出分段函數的形式，畫出圖象；（2）通過圖象可得最大值m，設a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2 ab+2 bc，令2 ：2 =1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．