Question

已知直線l：x=4與x軸相交于點M，動點P滿足PM⊥PO（O是坐標原點）．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）試在直線l上確定一點D（異于M點），過點D作曲線C的切線，使得切點E恰為切線與x軸的交點F與點D的中點．

Answer 1

分析：（1）依題意，M（4，0），設P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得

PM

•

PO

=0，即可得動點P的軌跡C的方程；
（2）因為DE、DM都是圓（x-2）²+y²=4的切線，所以DE=DM，根據E點位DF的中點，可求得CF=4，FM=6，進而可得DM=2

3

，故可得D的坐標．

解答：解：（1）依題意，M（4，0）…（1分）
設P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得

PM

•

PO

=0，即x（x-4）+y²=0…（4分）
整理得：動點P的軌跡C的方程為（x-2）²+y²=4（x≠0且x≠4）…（6分）
（2）因為DE、DM都是圓（x-2）²+y²=4的切線，所以DE=DM…（9分）
因為E點是DF的中點，所以DF=2DE=2DM，所以∠DFN=

π

6

…（11分）
設C（2，0），在△CEF中，∠CEF=

π

2

，∠CFE=

π

6

，CE=2，
所以CF=4，FM=6…（13分）
從而DM=2

3

，故D（4，±2

3

）…（15分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查圓的方程，考查圓的切線，正確運用向量知識是關鍵．