Question

【題目】如圖在三棱錐，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）取中點，利用線面垂直的判定定理，證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）由題意，取中點，連結(jié)，，

在中，，，所以，

又由，且，可得，所以，

在中，因為，

可得，所以，

又由，所以平面，

又因為平面，所以平面平面．

（2）因為，過作的平行線，則，，兩兩垂直，

分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，

可得，

設(shè)平面的法向量，則，

令，則，，即，

因為面，所以平面的法向量為．

所以，

由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．