Question

離心率為的橢圓C₁的長軸兩端點分別是雙曲線C₂：的兩焦點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）直線y=x+m與橢圓C₁交于A，B兩點，與雙曲線C₂兩條漸近線交于P，Q兩點，且P，Q在A，B之間，使|AP|，|PQ|，|QB|成等差數列，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）橢圓C₁的方程為（a＞b＞0），根據題意列方程組，解出即可；
（2）由|AP|，|PQ|，|QB|成等差數列，可得|AP|+|QB|=2|PQ|，則|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，利用弦長公式表示出|AB|，根據兩點間距離公式表示出|PQ|，解此關于m方程即可．
解答：解：（1）設橢圓C₁的方程為（a＞b＞0），
由題意知a²=1+4=5，所以a=，
又，所以，解得c=，則b²=a²-c²=5-=．
故橢圓C₁的方程為．
（2）由，得3x²+4mx+2m²-5=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以|AB|==•==•．
雙曲線的漸近線方程為：y=2x，y=-2x，
由解得，由解得，
所以兩交點P，Q的坐標為（m，2m），（-，），
|PQ|==，
因為|AP|，|PQ|，|QB|成等差數列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，
故•=3，解得m=±．
故m的值為±．
點評：本題考查橢圓的標準方程的求解及直線與圓錐曲線的位置關系問題，考查數形結合思想，考查學生分析問題解決問題的能力，直線與圓錐曲線的位置關系問題是解析幾何中重要題型，弦長公式、兩點間距離公式、韋達定理、判別式等解決該類問題的基礎知識，須熟練掌握．