Question

設二次函數f(x)滿足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0的兩個實根的平方和為10，f(x)的圖象過點(0，3)，求f(x)的解析式.

Answer 1

解析：要求的函數是二次函數，一般可設其為f(x)＝ax²+bx+c(a≠0)，然后根據已知條件求出系數a、b、c，從而求得該二次函數.由于本題條件f(2+x)=f(2-x)隱含著函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱，故可設函數f(x)＝a(x-2)²+k.

答案：∵f(2+x)＝f(2-x)，

∴f(x)的圖象關于直線x=2對稱.?

于是，設f(x)＝a(x-2)²+k(a≠0)，則由f(0)＝3，可得k＝3-4a，

∴f(x)＝a(x-2)²+3-4a＝ax²-4ax+3.

∵ax²-4ax+3＝0的兩實根的平方和為10，?

∴10＝x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2x₁x₂＝16-.?

∴a=1.?

∴f(x)＝(x-2)²-1＝x²-4x+3.