Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N兩點，且點M、N關于直線x+y=0對稱，動點P（a，b）在不等式組

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區域的內部及邊界上運動，則
（1）不等式組所確定的平面區域的面積為1；
（2）使得目標函數z=b-a取得最大值的最優解有且僅有一個；
（3）目標函數ω=

b-2

a-1

的取值范圍是[-2，2]；
（4）目標函數p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
上述說法中正確的是______（寫出所有正確選項）

Answer 1

∵M、N兩點，關于直線x+y=0對稱，
∴k=1，又圓心(-

k

2

，-

m

2

)在直線x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式組變為

x-y+2≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區域，
（1）△AOB為不等式所表示的平面區域，
聯立

y=-x y=x+2

解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-2|×|-1|=1．
故（1）正確；
（2）作出目標函數z=b-a平行的直線，將其平移
當直線z=b-a過直線x-y+2=0上的任一點時，z最大，
故（2）錯；
（3）如圖
又因為ω=

b-2

a-1

表示點P（a，b）與點（1，2）連線的斜率．
故當過點B（-1，1）時，ω=

b-2

a-1

取最小值-

1

2

．
當過O（0，0）時，ω=

b-2

a-1

取最大值2．
故答案為：[-

1

2

，2]．故（3）錯；
（4）p=a²+b²-2b+1=a²+（b-1）²-表示區域內的點N到點M（0，1）的距離的平方，
由圖得：只有當過M作直線x+y=0的垂線時，M（0，1）到平面區域內任一點的距離才最小．
而M與直線x+y=0的距離為：d=

|0+1|

12+12

=

1

2

．
∴|d|²=

1

2

．即目標函數p=a²+b²-2b+1的最小值是

1

2

．
故（4）正確．
故答案為：（1），（4）．