Question

已知數列a_n滿足a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*），數列b_n滿足b₁=1，（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*），數列c_n滿足c1=1，

c1

1

+

c2

22

+…+

cn

n2

=

cn+1

n+1

（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求數列c_n的通項公式；
（3）是否存在正整數k使得k(an+

7

2

)-

3

bn+1

＞cn+6n+15對一切n∈N^*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數列的遞推關系建立數列的第n項與前面各項的關系是解決本題的關鍵，注意累加思想和累乘思想的運用；
（2）利用相減的思想建立數列各項之間的關系是解決本題的關鍵，注意累乘思想的運用和分類討論思想的運用；
（3）將所給的不等式進行轉化是解決本題的關鍵，注意分離變量思想和函數最值思想的運用．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*）
∴n≥2，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=(n-1)+(n-2)+…+1+1=

n(n-1)

2

+1=

1

2

n2-

1

2

n+1
∴an=

1

2

n2-

1

2

n+1（n∈N^*），（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*）
∴

bn+1

bn

=

n

n+2

，
∴n≥2，bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

•b1=

n-1

n+1

•

n-2

n

…

1

3

•1=

2

n(n+1)

，
∴bn=

2

n(n+1)

（n∈N^*）

（2）c1=1，

c1

1

+

c2

22

+…+

cn

n2

=

cn+1

n+1

∴

c1

1

+

c2

22

+…+

cn-1

(n-1)2

=

cn

n

（n≥2）（n∈N^*）
兩式相減得：

cn

n2

=

cn+1

n+1

-

cn

n

∴

cn+1

cn

=

(n+1)2

n2

，n=1，

c1

1

=

c2

2

得出c₂=2，n≥2
∴cn=

cn

cn-1

•

cn-1

cn-2

…

c3

c2

•c2=

n2

(n-1)2

•

(n-1)2

(n-2)2

…

32

22

•2=

n2

2

cn=

1，n=1 n2 2 ，n≥2，n∈N*

．
（3）當n=1時，k(a1+

7

2

)-3•

1

b2

＞c1+6+15
∴k＞

62

9

且k∈N^*k≥7且k∈N^*
當n≥2時，k(an+

7

2

)-

3

bn+1

＞cn+6n+15，即k(

n2

2

-

n

2

+

9

2

)-

3

2

(n+2)(n+1)＞

n2

2

+6n+15
k（n²-n+9）＞4n²+21n+36
∵n²-n+9＞0恒成立，
∴k＞

4n2+21n+36

n2-n+9

事實上：

4n2+21n+36

n2-n+9

=4+

25

n+ 9 n -1

n+

9

n

≥6（n=3取等號）
∴(

4n2+21n+36

n2-n+9

)max=9∴k＞9且k∈N^*．
綜上：k≥10，k∈N^*故k的最小值為10．

點評：本題考查數列的遞推關系與數列通項公式之間的關系，考查通過數列的遞推關系尋找相鄰項之間關系的累加法和累乘法求數列的通項公式，考查學生分析問題解決問題的轉化與化歸思想，考查學生不等式恒成立問題的解決方法，考查學生的函數思想處理數列問題．