Question

設O為坐標原點，F₁，F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

7

2

a，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  2

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義與余弦定理可得到a²與c²的關系，從而可求得該雙曲線的離心率．

解答：解：設該雙曲線的離心率為e，依題意，||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，
不妨設|PF1|2+|PF2|2=x，|PF₁|•|PF₂|=y，
上式為：x-2y=4a²，①
∵∠F₁P F₂=60°，
∴在△F₁P F₂中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°=4c²，②
即x-y=4c²，②
又|OP|=

7

2

a，

PF1

+

PF2

=2

PO

，
∴

|PF1|

2+

|PF2|

2+2

|PF1|

•

|PF2|

×cos60°=4|

PO

|2=7a²，
即|PF1|2+|PF2|2+|PF₁|•|PF₂|=7a²，
即x+y=7a²，③
由②+③得：2x=4c²+7a²，
①+③×2得：x=6a²，于是有4c²=5a²，
∴

c2

a2

=

5

4

，
∴e=

c

a

=

5

2

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的定義與余弦定理的應用，得到a²與c²的關系是關鍵，也是難點，考查分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．