Question

若函數f(x)=

ax

ax2+4ax+3

的定義域為R，則實數的取值范圍為（　　）

• A．(

  3

  4

  ，+∞)
• B．(0，

  3

  4

  )
• C．[0，

  3

  4

  )
• D．（-∞，0）

Answer 1

分析：利用函數的定義域為R，轉化為ax²+4ax+3≠0恒成立，然后通過分類討論求a的取值范圍即可．

解答：解：因為函數f(x)=

ax

ax2+4ax+3

的定義域為R，所以ax²+4ax+3≠0恒成立．
若a=0，則不等式等價為3≠0，所以此時成立．
若a≠0，要使ax²+4ax+3≠0恒成立，則有△＜0，即△=16a²-4×3a＜0，解得0＜a＜

3

4

．
綜上0≤a＜

3

4

，即實數a的取值范圍是[0，

3

4

）．
故選C．

點評：本題主要考查函數恒成立問題，將恒成立轉化為ax²+4ax+3≠0，然后利用一元二次不等式的知識求解是解決本題的關鍵，同時要注意對二次項系數進行討論．