Question

在銳角三角形ABC中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

3

(tanA-tanB)=1+tanA•tanB且a²-ab=c²-b²，
（1）求A、B、C的大小；
（2）若向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(cosB，sinB)，求|3

m

-2

n

|的值．

Answer 1

分析：（1）先利用差角的正切公式，再利用余弦定理，結合三角形的內角和，即可求得A、B、C的大小；
（2）計算模長，先平方，利用數量積的運算，再開方，即可得到結論．

解答：解：（1）∵

3

(tanA-tanB)=1+tanA•tanB，△ABC為銳角三角形，

∴ tanA-tanB 1+tanA•tanB = 3 3

，
∴tan(A-B)=

3

3

．
∴-

π

2

＜A-B＜

π

2

.
∴A-B=

π

6

．（3分）
∵a²-ab=c²-b²，

∴cosC= a2+b2-c2 2ab = 1 2

，
∴C=

π

3

.
∴A+B=

2π

3

∴A=

5π

12

，B=

π

4

，C=

π

3

．（6分）
（2）∵向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(cosB，sinB)，
∴|3

m

-2

n

|²=9 

m

²+4

n

²-12 

m

•

n

=13-12（sinAcosB+cosAsinB）
=13-12sin（A+B）=13-12sin（2B+

π

6

）=13-6

3

∴|3

m

-2

n

|=

13-6 3

點評：本題考查差角正切公式，考查余弦定理的運用，考查向量的數量積，考查模長的計算，屬于中檔題．