Question

已知函數f(x)＝＋ln x.

(1)當a＝時，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)若函數g(x)＝f(x)－x在[1，e]上為增函數，求正實數a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 最大值是0，最小值是ln 2－1 (2)

【解析】(1)當a＝時，f(x)＝＋ln x，

f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2.

∴當x∈[1,2)時，f′(x)＜0，故f(x)在[1,2)上單調遞減；

當x∈(2，e]時，f′(x)＞0，故f(x)在(2，e]上單調遞增．

∴f(x)在區間[1，e]上有唯一的極小值點，

故f(x)min＝f(x)極小值＝f(2)＝ln 2－1.

又∵f(1)＝0，f(e)＝＜0.

∴f(x)在區間[1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.

綜上可知，函數f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.

(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，

∴g′(x)＝ (a＞0)，

設φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由題意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可滿足題意．

∵a＞0，函數φ(x)的圖象的對稱軸為x＝2，

∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．

故正實數a的取值范圍為.