Question

（1）已知a∈R，函數f（x）=x²（x-a），若f′（1）=1．求a的值并求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=g（x）；
（2）已知函數f（x）=

ax2

2x+b

的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為y=2．求a，b的值及f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求函數導數，由f′（1）=1，得a的值，然后利用導數的幾何意義求切線方程．
（2）利用切線方程，求a，b的值．

解答：解：（1）因為f（x）=x²（x-a），所以f'（x）=3x²-ax，若f'（1）=1，則3-a=1，解得a=2．
所以f（1）=1-a=1-2=-1，所以對應的切線方程為y-（-1）=x-1，所以y=x-2，即y=g（x）=x-2．
（2）因為函數f（x）=

ax2

2x+b

的導數為f′(x)=

2ax2+2abx

(2x+b)2

=

2ax(x+b)

(2x+b)2

，
因為函數在點（2，f（2））處的切線方程為y=2，所以f（2）=2且f'（2）=0，
即：

f(2)= 4a 4+b =2 f′(2)= 4a(2+b) (4+b)2 =0

，解得a=1，b=-2．
所以f′(x)=

2x(x-2)

(2x-2)2

=

x(x-2)

2(x-1)2

，f（x）=

x2

2x-2

，函數的定義域為{x|x≠1}．
由f'（x）＞0得，x＞2或x＜0，此時函數單調遞增．
由f'（x）＜0得，0＜x＜2且x≠1，此時函數單調遞減．
故函數的遞增區間為（2，+∞）和（-∞，0）．
函數的遞減區間為（0，1）和（1，2）．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，利用導數求出切線斜率是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．