Question

對任意函數f(x),x∈D,如圖所示，構造一個數列發生器，其工作原理如下：

①輸入數據x₀∈D，經數列發生器輸出x₁=f(x₀);

②若x₁D,則數列發生器結束工作；若x₁∈D,則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f(x₁)，并依次規律繼續下去.

    現定義f(x)=.

（Ⅰ）若輸入x₀=,則數列發生器產生數列{x_n}，請寫出數列{x_n}的所有項；

（Ⅱ）若要數列發生器產生一個無窮的常數列，試求輸入的初始數據x₀的值；

（Ⅲ）若輸入x₀時，產生的無窮數列{x_n}滿足：對任意正整數n，均有x_n＜x_n+1,求x₀的取值范圍.

Answer 1

解析：（Ⅰ）因為f(x)的定義域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),

    所以數列{x_n}只有三項x₁=,x₂=,x₃=-1.

（Ⅱ）因為f(x)==x即x²-3x+2=0所以x=1或x=2,

    即x₀=1或x₀=2時，x_n+1==x_n.

    故當x₀=1時，x_n=1；

    當x₀=2時，x_n=2（n∈N）.

（Ⅲ）解不等式x＜得：x＜-1或1＜x＜2.

    要使x₁＜x₂,則x₁＜-1或1＜x₁＜2.

    對于函數f(x)==4-,

    若x₁＜-1,則x₂=f(x₁)＞4,x₃=f(x₂)＜x₂

    不符合對任意正整數n均有x_n＜x_n+1;

    若1＜x₁＜2,則x₂=f(x₁)＞x₁,且1＜x₂＜2,

    依次類推可得數列{x_n}的所有項均滿足：x_n+1＞x_n(n∈N).

    綜上所述，x₁∈(1,2).

    由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).