Question

已知a，b，c，d是不全為0的實數，函數f(x)＝bx²＋cx＋d，g(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，方程f(x)＝0有實根，且f(x)＝0的實數根都是g(f(x))＝0的根，反之，g(f(x))＝0的實數根都是f(x)＝0的根，

(1)求d的值；

(2)若a＝0，求c的取值范圍；

(3)若a＝1，f(1)＝0，求c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設x0是f(x)＝0的根，那么f(x0)＝0，則x0是g(f(x))＝0的根，則g[f(x0)]＝0，即g(0)＝0，所以d＝0． 　　(2)因為a＝0，所以f(x)＝bx2＋cx，g(x)＝bx2＋cx，則g(f(x))＝f(x)[bf(x)＋c]＝(bx2＋cx)(b2x2＋bcx＋c)＝0的根也是f(x)＝x(bx＋c)＝0的根． 　　(a)若b＝0，則c≠0，此時f(x)＝0的根為0，而g(f(x))＝0的根也是0，所以， 　　(b)若，當時，的根為0，而的根也是0，當時，的根為0和，而的根不可能為0和，所以必無實數根，所以所以，從而 　　所以當時，；當時，． 　　(3)，所以，即的根為0和1， 　　所以＝0必無實數根， 　　(a)當時，＝＝，即函數在，恒成立，又，所以，即所以； 　　(b)當時，＝＝，即函數在，恒成立，又，所以， 　　，而，所以，所以不可能小于0， 　　(c)則這時的根為一切實數，而，所以符合要求． 　　所以