Question

已知a＞0，數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=a+，n=1，2，…。
（1）已知數列{a_n}極限存在且大于零，求A=（將A用a表示）；
（2）設b_n=a_n-A，n=1，2，…，證明：；
（3）若|b_n|≤對n=1，2，…都成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由存在，且，對兩邊取極限得
，解得
又
∴。
（2）由得
∴
即對n=1，2，3，…都成立。
（3）令，得
∴
∴，解得
現證明當時，對n=1，2，3，…都成立
（i）當n=1時結論成立（已驗證）
（ii）假設當n=k（k≥1）時結論成立，即
那么
故只須證明，即證對成立
由于
而當時，
∴
∴，即
故當時，
即n=k+1時結論成立
根據（i）和（ii）可知結論對一切正整數都成立
故對n=1，2，3，…都成立的a的取值范圍為。