Question

（2012•珠海二模）已知函數f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，數列{x_n}滿足：x₁=a（a∈[

π

6

，

5π

6

]），g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*．
（1）當a=

π

2

時，求x₂，x₃的值并寫出數列{x_n}的通項公式（不要求證明）；
（2）求證：當x≥0時，-x≤f′（x）≤x；
（3）求證：|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|＜π（n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）當a=

π

2

時，函數f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，由g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*，得xn+1-

π

2

=-

1

n

cosxn，故x2=

π

2

．x3=

π

2

．由此猜想：xn=

π

2

．
（2）設F（x）=f′（x）-x=sinx-x，則F′（x）=cosx-1≤0，故F（x）≤F（0）=0，f′（x）≤x，由此能夠證明當x≥0時，-x≤f′（x）≤x．
（3）當x≥0時，|f′（x）|≤|x|，當x＜0時，|f′（x）|≤|x|，對?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x．由此入手能夠證明|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|＜π（n∈N^*．

解答：（1）解：當a=

π

2

時，
∵函數f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，
∴由g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*，
得xn+1-

π

2

=-

1

n

cosxn，
∵x1=

π

2

，
∴x2-

π

2

=-cos

π

2

=0，∴x2=

π

2

．
x3-

π

2

=-

1

2

cos 

π

2

=0，∴x3=

π

2

．
由此猜想：xn=

π

2

．…（2分）
（2）證明：設F（x）=f′（x）-x=sinx-x，
則F′（x）=cosx-1≤0，
∴F（x）在[0，+∞）上為減函數，即F（x）≤F（0）=0，
即f′（x）≤x，…（4分）
設H（x）=f′（x）+x=sinx+x，則H′（x）=cosx+1＞0，
∴H（x）在[0，+∞）上為增函數，
即H（x）≥H（0）=0，即f′（x）≥-x，…（5分）
∴當x≥0時，-x≤f′（x）≤x．                  …（6分）
（3）證明：由（1）知：當x≥0時，|f′（x）|≤|x|，
同理可證：當x＜0時，|f′（x）|≤|x|，即對?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x|．…（7分）
由g（x_n+1）=

2

n

f（x_n）n∈N^*，
得xn+1-

π

2

=-

1

n

cosxn，
∴|xn+1-

π

2

|=|-

1

n

cosxn|
=|

1

n

sin(xn-

π

2

)|
≤

1

n

|xn-

π

2

| （n∈N^*）    …（8分）
∴|xn-

π

2

|≤ 

1

n-1

|xn-1-

π

2

|，
|xn-1-

π

2

|≤

1

n-2

|xn-2-

π

2

|，…，|x2-

π

2

|≤|xn-

π

2

|，
從而|xn-

π

2

|≤

1

(n-1)!

|a-

π

2

|，…（10分）
|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|
≤[

1

1!

+

1

1!

+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

]•|a-

π

2

| •|a-

π

2

|…（11分）
≤[1+1+

1

2

+

1

22

+…+ 

1

2 n-1

]•|a-

π

2

|
=[1+2（1-

1

2 n

）]•|a-

π

2

|
=[3-

1

2 n-1

]•|a-

π

2

|，…（13分）
＜3|a-

π

2

|＜π，a∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+|x3-

π

2

|+…+|xn+1-

π

2

|＜π（n∈N^*． …（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．