Question

現有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入5個盒子內．（1）若每個盒子都有球，但球的編號與盒子編號完全不相同，則不同的投放方法有

44

種；
（2）若恰有一個盒子空著，有

1200

種投放方法；
（3）若每個盒子內投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子的編號是相同的，有

31

種投放方法．（用數字作答）

Answer 1

分析：（1）根據題意，要求五個球的編號與盒子編號全不同，是完全亂序問題，由公式直接計算即可；
（2）首先選定兩個不同的球，看作一個球，與其他的4個球，投入5個盒子中，分別計算每一步的情況數目，由分步計數原理計算可得答案；
（3）先求每個盒子內投放一球的放法，再分情況求不合要求的放法，①恰有一球相同的放法，②五個球的編號與盒子編號全不同的放法，兩者想減即可得答案．

解答：解：（1）要求五個球的編號與盒子編號全不同，是完全亂序問題，
則其不同的放法有A₅⁵（

1

A 2 2

-

1

A 3 3

+

1

A 4 4

-

1

A 5 5

）=44個；
（2）首先選定兩個不同的球，看作一個球，選法有C₅²=10種，
再把“空”當作一個球，共計5個“球”，投入5個盒子中，有A₅⁵=120種投放法．
∴共計有10×120=1200種方法．
（3）若每個盒子內投放一球，有A₅⁵=120種，
不滿足條件的情形有2類，①、恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
②、五個球的編號與盒子編號全不同，由（1）可得有44種；
則共有120-45-44=31種；
故答案為（1）44，（2）1200，（3）31．

點評：本題考查排列、組合的應用，解題的關鍵是明確如何滿足題意的限制條件．