Question

【題目】已知，，，是半徑為的球面上的點，，，點在上的射影為，則三棱錐體積的最大值是（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】如圖，

由題意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，

可知P在平面ABC上的射影G為△ABC的外心，即AC中點，

則球的球心在PG的延長線上，設PG=h，則OG=2﹣h，

∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．

則AG=CG=，

過B作BD⊥AC于D，設AD=x，則CD=,

再設BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,

∴y=， ,

令f（x）=，則f′（x）=

由f′（x）=0，可得x=，

∴當x=時，f（x）max=，

∴△ABD面積的最大值為,

則三棱錐P﹣ABD體積的最大值是

故答案為：B.