Question

拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在y軸的負半軸上，過點M（0，-2）作直線l與拋物線C交于A，B兩點，且滿足=（-4，-12）。
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）當拋物線C上一動點P從點A向點B運動時，求△ABP的面積的最大值；
（3）在拋物線C上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意可設所求直線l的方程為y=kx-2，所求拋物線的方程為，由，消去y得：，
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∴
∵，
∴，
解得，
故直線l的方程為y=2x-2，
拋物線的方程為x²=-2y；
（2）據題意，當拋物線過點P的切線m與直線l平行時，△ABP的面積最大，
此時切線m的方程為y=2x+b，由消去y，整理得：，
∵，
∴b=2，
m的方程為y=2x+2，即y=2x+2，
此時點P到直線l的距離為，

由消去y得：
故，
所以△ABP的最大面積為=；
（3）在拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點，
假設在拋物線C存在相異兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關于直線l對稱，
則直線AB的方程為
由，消去y得：，，
于是可得AB的中點M的坐標為（），又點M在直線l上，所以，即，AB的方程為，而此時△=7>0，即直線AB與拋物線C有兩個相異公共點，
綜上所述，在拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點。