Question

（14分）已知函數(shù)，，記.
（1）若，且在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；
（3）若，設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象交于點、，過線段的中點作軸的垂線分別交，于點、，請判斷在點處的切線與在點處的切線能否平行，并說明你的理由.

Answer 1

（1）不等式，函數(shù) ，，，先增后減
最大值為，     
（2），
則
當時，時，，函數(shù)為減函數(shù)；
當a>0時，y=ax²+2x－1為開口向上的拋物線，ax²+2x－1>0總有x>0的解；
當a<0時，y=ax²+2x－1為開口向下的拋物線，而ax²+2x－1>0總有x>0的解；則△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此時，
－1<a<0，
綜上：
（3）不能平行。
設(shè)點P、Q的坐標分別是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.
則點M、N的橫坐標為
假設(shè)C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行得：
，點P、Q的坐標代入函數(shù)表達式
兩式相減得：
設(shè)則令
得用導(dǎo)數(shù)得在）上單調(diào)遞增. 故
所以不成立，即兩切線不可能平行。

略