Question

已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，且過點（1，），橢圓C的焦點與曲線的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F任作橢圓C的一條弦PQ，直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點，點M、N的縱坐標分別為m、n．請問以線段MN為直徑的圓是否經過x軸上的定點？若存在，求出定點的坐標，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）問的條件下，求以線段MN為直徑的圓的面積的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意，橢圓C的焦點為（-1，0），（1，0），且過點（1，），
由橢圓的定義，可得2a=4，∴a=2
∴b²=a²-1=3
∴橢圓C的方程為；
（2）假設以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點，由（1）知F（1，0）
①當PQ⊥x軸時，P，Q的橫坐標均為1，將x=1代入橢圓方程可得y=±
不妨令P（1，），Q（1，-）
由A，P，M三點共線，得，∴m=3
同理可得n=-3
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+y²=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0）；
②當直線PQ與x軸不垂直時，∵A（-2，0），M（4，m），∴
∴直線AM的方程為y=
代入橢圓方程，整理可得（27+m²）x²+4m²x+4m²-108=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則-2與x₁是上述方程的兩個實根
∴-2x₁=，∴x₁=，∴y₁=
∴P（，）
同理可得Q（）
∴=，=
∵P，F，Q三點共線，∴
∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+（y-）²=
將（1，0）代入上式的坐標，可得（1-4）²+（0-）²=-mn++（）²=
∴以線段MN為直徑的圓的方程經過點（1，0）
同理（7，0）也在圓上，
綜上，以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0）；
（3）由（2）知，以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0），
故以線段MN為直徑的圓的半徑的最小值為
∴以線段MN為直徑的圓的面積的最小值為9π．
分析：（1）由題意，橢圓C的焦點為（-1，0），（1，0），且過點（1，），由橢圓的定義，可得a的值，從而可求橢圓C的方程；
（2）假設以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點，由（1）知F（1，0），分類討論：①當PQ⊥x軸時，以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+y²=9，可得以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0）；②當直線PQ與x軸不垂直時，可得以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+（y-）²=，驗證（1，0），（7，0）在圓上；
（3）由（2）知，以線段MN為直徑的圓經過x軸上的定點（1，0），（7，0），故可得線段MN為直徑的圓的半徑的最小值，從而可得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查恒過定點問題，考查分類討論的數學思想，綜合性強．