Question

若θ∈(

π

2

，

3π

4

)，sin2θ=a，則sinθ+cosθ值是（　　）

• A．(A)

  a+1

  +

  a2-a

• B．(B)-

  a-1

• C．(C)

  a+1

  -

  a2-a

• D．(D)

  a+1

Answer 1

分析：已知等式左邊利用二倍角的正弦函數公式化簡，兩邊同時加上1，利用同角三角函數間的基本關系變形，配方后可得出（sinθ+cosθ）²=1+a，然后判斷sinθ+cosθ正負，方法為利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由θ的范圍得出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得到sinθ+cosθ大于0，最后開方可得出所求式子的值．

解答：解：由sin2θ=a，得到1+sin2θ=1+a，
變形得：1+2sinθcosθ=1+a，即（sinθ+cosθ）²=1+a，
∵sinθ+cosθ=

2

sin（θ +

π

4

），
又θ∈(

π

2

，

3π

4

)，∴θ +

π

4

∈（

3π

4

，π），
∴sinθ+cosθ=

2

sin（θ +

π

4

）＞0，
則sinθ+cosθ=

a+1

．
故選D

點評：此題考查了同角三角函數間基本關系的運用，涉及的知識還有二倍角的正弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式以及正弦函數的圖象與性質，其中判斷sinθ+cosθ的正負是本題的難點也是易錯點．