Question

直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρ=4cosθ
（1）若點(diǎn)A（1，

π

2

），點(diǎn)P是曲線C上任一點(diǎn)，求

AP

2的取值范圍；
（2）若直線l的參數(shù)方程是

x=t+m y=t

，（t為參數(shù)），且直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，且

CM

•

CN

=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)A化成直角坐標(biāo)為（0，1），曲線C的極坐標(biāo)方程化成直角方程，可得當(dāng)直線AP過(guò)圓心C（2，0）時(shí)，

AP

2最大（或最小）．再根據(jù)|AC|=

5

，可得

5

-2≤|

AP

|≤

5

+2，從而求得

AP

2的取值范圍．
（2）把直線l的參數(shù)方程化成普通方程為x-y-m=0，又直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，且

CM

•

CN

=0，可得圓心C（2，0）到直線l的距離為

2

，由此求得m的值．

解答：解：（1）點(diǎn)A（1，

π

2

）化成直角坐標(biāo)為（0，1），曲線C：p=4cosθ化成直角方程為（x-2）²+y²=4．（2分）
當(dāng)直線AP過(guò)圓心C（2，0）時(shí)，

AP

2最大（或最小）．
再根據(jù)|AC|=

5

，可得

5

-2≤|

AP

|≤

5

+2，
∴

AP

2的取值范圍為[9-4

5

，9+4

5

]．（6分）
（2）把直線l的參數(shù)方程化成普通方程為x-y-m=0，又直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，且

CM

•

CN

=0，
則：圓心C（2，0）到直線l的距離為

2

；
即：

|2-m|

2

=

2

，
∴m=0或4．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．