Question

已知函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及數列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4構成等差數列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{a_n}的前n項和為S_n，當0＜a＜1時，求

lim

n→∞

Sn；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），當a＞1時，試比較b_n與b_n+1的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，則2n+4=2+[（n+2）-1]•d，故d=2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a≠1，知Sn=a4+a6+a8+…+a2n+2=

a4(1-a2n)

1-a2

，由

lim

n→∞

a2n=0，能求出求

lim

n→∞

Sn．
（Ⅲ）由b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0，知

bn+1

bn

=

(2n+4)a2n+4

(2n+2)a2n+2

=

(n+2)

(n+1)

•a2＞1，由此能夠推導出b_n+1＞b_n．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，
∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4構成等差數列（n=1，2，…）．
∴2n+4=2+[（n+2）-1]•d，
∴d=2…（2分）
故f（a_n）=2+[（n+1）-1]×2=2n+2…（4分）
即f（a_n）=log_aa_n=2n+2
∴a_n=a²ⁿ⁺²（a＞0且 a≠1）…（6分）
（Ⅱ）∵a≠1
∴Sn=a4+a6+a8+…+a2n+2=

a4(1-a2n)

1-a2

…（8分）
∵

lim

n→∞

a2n=0，
∴0＜a＜1，
∴

lim

n→∞

Sn=

a4

1-a2

．…（10分）
（Ⅲ）∵b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0
因為a＞1且

n+2

n+1

=1+

1

n+1

＞1，
∴

bn+1

bn

=

(2n+4)a2n+4

(2n+2)a2n+2

=

(n+2)

(n+1)

•a2＞1…（13分）
故b_n+1＞b_n…（16分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，數列極限的求法和數列單調性的判斷．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．