Question

(本小題滿分14分) 已知函數，其中。。

（1）若是函數的極值點，求實數a的值；

（2）若函數的圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）若函數在上有兩個零點，求實數a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）1（2）（3）

【解析】

試題分析：由題意知，，所以，     ……2分

（1）所以且，.                            ……4分

（2）對任意的恒成立,                      ……5分

對任意的恒成立,                            

,

而當時，取最大值為1，

，且，.                                         ……7分

（3），且,

；或；

在和上遞增；而在上遞減。           ……8分

當時

i），則在上遞增，

所以在上不可能有兩個零點。                             ……9分

ii），則在上遞減，而在上遞增。      

在上有極小值（也就是最小值），

而，

    ，

時，在上有兩個零點。                       ……12分

iii），則在上遞減，

所以在上不可能有兩個零點。                         ……13分

綜上所述：.                                            ……14分

考點：本小題主要考查導數幾何意義的應用、利用導數研究單調性和構造函數證明不等式以及基本不等式的應用，考查學生分析問題、解決問題的能力和構造能力以及運算求解能力.

點評：導數是研究函數的性質（尤其是單調性、極值、最值等）的有力工具，要靈活應用.