Question

有如下程序框圖，它表示輸入x，求函數y=f（x）的值的一個算法，
（1）令輸入n=3，請寫出輸出y=f（x）的解析式；
（2）請根據（1）直接寫出當輸入n=10時輸出f（x）的解析式，若此時的f（x）滿足：f(x)=a10(x-1)10+a9(x-1)9+…+a₁（x-1）+a₀，求a₀和a₈．

Answer 1

分析：（1）由程序框圖可得：執行循環第一次i=2，f（x）=x+2．執行循環第二次i=3，f（x）=（x+2）x+3=x²+2x+3，依此類推，執行第三次運行結束，即可得出；
（2）由（1）的規律直接得出f（x）=x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11，故x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11=a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0，令x=1，即可得出a₀．            
由f（x）=[（x-1）+1]¹⁰+2[（x-1）+1]⁹+…+10[（x-1）+1]+11═a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0，比較可得a₈=C₁₀²+2C₉¹+3C₈⁰

解答：解：（1）由程序框圖可得：執行循環第一次i=2，f（x）=x+2．
執行循環第二次i=3，f（x）=（x+2）x+3=x²+2x+3
執行循環第三次i=4，f（x）=x³+2x²+3x+4，運行結束．
∴f（x）=x³+2x²+3x+4．
（2）f（x）=x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11，
x¹⁰+2x⁹+3x⁸+…+10x+11=a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0
令x=1，得a₀=1+2+…+11=

11×(1+11)

2

=66                                   
f（x）=[（x-1）+1]¹⁰+2[（x-1）+1]⁹+…+10[（x-1）+1]+11
═a10(x-1)10+a9(x-1)9+…a1(x-1)+a0，
∴a₈=C₁₀²+2C₉¹+3C₈⁰=66．

點評：本題考查了循環結構的功能、二項展開式的性質及應用，屬于難題．