Question

設點，動圓P經過點F且和直線相切．記動圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過點F作互相垂直的直線l₁，l₂，分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，動圓到定點的距離與到定直線的距離相等，其軌跡為拋物線，寫出其方程．
（2）設出l₁的方程y=kx+，聯立l₁和拋物線的方程，將AB的長度用k表示出來，同理，l₂的方程為y=，將CD的長度也用k表示出來．再由四邊形面積公式|AB|•|CD|，算出表達式，再用不等式放縮即得．
解答：解：（Ⅰ）過點P作PN垂直直線于點N．
依題意得|PF|=|PN|，
所以動點P的軌跡為是以為焦點，直線為準線的拋物線，
即曲線W的方程是x²=6y
（Ⅱ）依題意，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設直線l₁的方程為，
由l₁⊥l₂得l₂的方程為．
將代入x²=6y，化簡得x²-6kx-9=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴，
同理可得．
∴四邊形ACBD的面積，
當且僅當，即k=±1時，S_min=72．
故四邊形ACBD面積的最小值是72．
點評：高考中對圓錐曲線基本定義的考查仍是一個重點，本題中，對于對角線互相垂直的四邊形的面積，可用兩條對角線長的乘積的表示．