Question

某市為提高城市品位，計劃對市內現有全部出租車進行更新換代，在引進新車型的同時淘汰等量的舊車型，現決定2010年1月份更新a輛，以后每個月更新的車輛數比前一個月多a輛，兩年時間更新完畢．
（I）問該市的出租車共有多少輛？
（Ⅱ）若從第二個月起，每個月以10%的增長速度進行更新，至少需要多少個月才能更新完畢？
（參考數據：1.1³⁶≈28.10，1.1³⁶≈30.91，1.1³⁷≈34.00，1.1³⁸≈37.40）

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為a，
公差為a的等差數列，
設第n個月更新的車輛數為a_n（1≤n≤24），則a_n=na
∴該市的出租車總數（輛）
（Ⅱ）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為a，公比為1.1的等比數列，
則第n個月更新的車輛數b_n=a•1.1^n-1（1≤n≤24），
設至少需要x個月才能更新完畢，
∴x個月更新的車輛總數，
即1.1^x≥31，由參數數據可得1.1³⁶≈30.91＜31≤1.1^x，x＞36．
故以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車．
分析：（Ⅰ）依題意，設第n個月更新的車輛數為a_n（1≤n≤24），則a_n=na，由此可知該市的出租車總數．
（Ⅱ）依題意，第n個月更新的車輛數b_n=a•1.1^n-1（1≤n≤24），設至少需要x個月才能更新完畢，x個月更新的車輛總數，由此可知以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車．
點評：本題考查數列的性質的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．