Question

某同學參加3門課程的考試．假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為

4

5

，第二、第三門課程取得優秀成績的概率分別為p，q（p＞q），且不同課程是否取得優秀成績相互獨立．記ξ為該生取得優秀成績的課程數，其分布列為

ξ	0	1	2	3
p	6 125	a	d	24 125

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率；
（Ⅱ）求數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由題意知事件該生至少有一門課程取得優異成績與事件“ξ=0”是對立的，要求該生至少有一門課程取得優秀成績的概率，需要先知道該生沒有一門課程優秀，根據對立事件的概率求出結果．
（II）由題意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根據互斥事件的概率和相互獨立事件同時發生的概率，得到這兩個值，求出概率之后，問題就變為求期望．

解答：解：事件A表示“該生第i門課程取得優異成績”，i=1，2，3．
由題意可知
P(A1)=

4

5

，P(A2)=p，P(A3)=q
（I）由于事件“該生至少有一門課程取得優異成績”與事件“ξ=0”是對立的，
∴該生至少有一門課程取得優秀成績的概率是
1-P（ξ=0）=1-

6

125

=

119

125

（II）由題意可知，
P（ξ=0）=P( 

.

A1

 

.

A2

.

A3)

 =

1

5

(1-p)(1-q)=

6

125

，
P（ξ=3）=P(A1A2A3)=

4

5

pq=

24

125

整理得p=

3

5

，q=

2

5

．
∵a=P（ξ=1）=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=

4

5

(1-p)(1-q)+

1

5

p(1-q)+

1

5

(1-p)q
=

37

125

d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

58

125

∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=

9

5

點評：本題課程互斥事件的概率，相互獨立事件同時發生的概率，離散型隨機變量的分布列和期望，是一道綜合題，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題．