Question

已知函數f（x）=2asin（2x+

π

6

）+a+b的定義域是[0，

π

2

]，值域是[-5，1]，求a、b的值．

Answer 1

分析：根據函數的定義域，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．因此分a的正負討論，結合函數的值域建立關于a、b的不等式組，解之即可得到a、b的值，最后綜上所述可得答案．

解答：解：∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
①當a＞0時，2asin（2x+

π

6

）∈[-a，2a]，得2asin（2x+

π

6

）+a+b∈[b，3a+b]
∴

b=-5 3a+b=1

，解之得a=2，b=-5；
②當a＜0時，2asin（2x+

π

6

）∈[2a，-a]，得2asin（2x+

π

6

）+a+b∈[3a+b，b]
∴

b=1 3a+b=-5

，解之得a=-2，b=1
綜上所述，可得a=2，b=-5或a=-2，b=1．

點評：本題給出三角函數在給出區間上的值域，求參數a、b的值．著重考查了三角函數的圖象與性質、函數的定義域與值域等知識，屬于中檔題．