Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F在直線l：x-y+1=0上
（I）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線l與拋物線C相交于P，Q兩點，求線段PQ中點M的坐標．

Answer 1

（I）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，

1

2

p）
∴0-

1

2

p+1=0，可得p=2，
因此拋物線C的方程是x²=4y；
（II）由

x-y+1=0 x2=4y

，消去y得

1

4

x²-x-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=4，可得中點M的橫坐標為

1

2

=2（x₁+x₂）=2
代入直線l方程，得縱坐標為y_M=x_M+1=3
即線段PQ中點M的坐標（2，3）．