Question

已知等比數列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分別是某等差數列的第5項、第3項、第2項，且a1=

1

2

公比q≠1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}滿足bn=log

1

2

an2，S_n是數列{b_n}的前n項和，求證：當n≥5時，a_nS_n＜1．

Answer 1

分析：（1）、根據題中已知條件結合等差數列的性質便可求出關于q的一元二次方程，解方程便可得出符合條件q的值，進而求得數列{a_n}的通項公式；
（2）、先求出Sn，找出所需證明的不等式的關系，然后分別討論當n=5和n＞5兩種情況下不等式恒成立即可．

解答：解：（1）由已知得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
從而得2q²-3q+1=0
解得q=

1

2

或q=1（舍去）…（4分）
所以a_n=a₁•q^n-1=

1

2

•（

1

2

）^n-1=(

1

2

)n．
∴數列{a_n}的通項公式為an=(

1

2

)n；…（6分）
（2）由于bn=2log

1

2

(

1

2

)n=2n•Sn=n(n+1)，anSn=

n(n+1)

2n

．
因此所證不等式等價于：2ⁿ＞n（n+1）（n≥5．）
①當n=5時，因為左邊=32，右邊=30，32＞30，所以不等式成立；
②假設n=k（k≥5）時不等式成立，即2^k＞k（k+1），
兩邊同乘以2得2^k+1＞（k+1）（k+2）．
這說明當n=k+1時也不等式成立．
由①②知，當n≥5時，2ⁿ＞n（n+1）成立．
因此，當n≥5時，a_nS_n＜1成立．…（12分）

點評：本題考查了等差數列和等比數列的性質以及等比數列的通項公式和前n項和的求法，考查了學生的計算能力，解題時注意分類討論的數學思想的運用，屬于中檔題．