Question

設f（x）是定義在R上的函數，且f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，f(3)=3，則f（2007）=

2

．

Answer 1

分析：根據題意可得：f(x+4)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，即可得到 f(x+8)=-

1

f(x+4)

=f(x)，所以f（2007）=f（7），再結合題意即可得到答案．

解答：解：因為 f(x+2)=

1+f(x)

1-f(x)

，
所以 f(x+4)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以 f(x+8)=-

1

f(x+4)

=f(x)，
所以f（x）是定義在實數集上周期為8的函數，
∵f（x+2）=

1-f(x)

1+f(x)

，且f（3）=3，
∴f（5）=

1-f(3)

1+f(3)

=

1-3

1+3

=-

1

3

，
故f（7）=

1+ 1 3

1- 1 3

=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查利用仿寫的方法求出函數的周期，像這種計算較大自變量的函數值時一般先根據題意求出函數的周期，再利用周期的有關性質進行解題．