Question

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）討論函數F（x）=f（x）-g（x）的單調性；
（2）是否存在這樣的a的值，使得f（x）≥g（x）+2（x∈R^*）恒成立，若不存在，請說明理由；若存在，求出所有這樣的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．函數F（x）=f（x）-g（x），知F（x）=ax²-2lnx，其定義域為（0，+∞），所以F′(x)=2ax-

2

x

=

2(ax2-1)

x

(x＞0)，再由導數的符號討論函數F（x）=f（x）-g（x）的單調性；
（2）即使F（x）≥2在x＞0時恒成立．當a≤0時，x→+∞，則F（x）→-∞．F（x）≥2在x＞0時不可能恒成立．a＞0，由Fmin(x)=F(

1

a

)=1-2ln

1

a

=1-ln

1

a

，知只須1-ln

1

a

≥2即可．由此能導出存在這樣的a的值，使得f（x）≥g（x）+2（x∈R⁺）恒成立．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
函數F（x）=f（x）-g（x），
∴F（x）=ax²-2lnx，
其定義域為（0，+∞）（1分）
∴F′(x)=2ax-

2

x

=

2(ax2-1)

x

(x＞0)
（i）當a＞0時，由ax2-1＞0得x＞

1

a

．由ax2-1＜0得0＜x＜

1

a

故當a＞0時，F(x)的遞增區間為(

1

a

，+∞)，遞減區間為(0，

1

a

)．（4分）
（ii）當a＜0時，F'（x）＜0（x＞0）恒成立
故當a≤0時，F（x）在（0，+∞）上單調遞減．（6分）
（2）即使F（x）≥2在x＞0時恒成立．
由（1）可知當a≤0時，x→+∞，
則F（x）→-∞．F（x）≥2在x＞0時不可能恒成立．（7分）
∴a＞0，由（1）可知
Fmin(x)=F(

1

a

)=1-2ln

1

a

=1-ln

1

a

（10分）
∴只須1-ln

1

a

≥2即可，
∴lna≥1，
∴a≥e，
故存在這樣的a的值，
使得f（x）≥g（x）+2（x∈R⁺）恒成立．
a的取值范圍為[e，+∞）．（12分）

點評：本題考查導數的最大值和最小值的實際應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要認真審題，仔細解答．