Question

已知定義域為R⁺、值域為R的函數f(x)，對于任意x、y正R⁺總有f(xy)=f(x)+f(y)．當x＞1時，恒有f(x)＞0．

(1)求證：f(x)必有反函數；

(2)設f(x)的反函數是f^-1(x)，若不等式f^-1(-4^x+k·2^x-1)＜1對任意的實數x恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

(1)令x=y=1得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0

令y=，得f(1)=f(x)+f()，

∴f()=-f(x)

在R⁺內任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，

則f()=f(x₂)+f() =f(x₂)-f(x₁)

∵＞1，∴f()＞0，∴f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在定義域內為單調增函數．

故f(x)一定存在反函數．

(2)由(1)知f(x)在定義域內為單調增函數，f^-1(-4^x+k·2^x-1)，1在f(x)的定義域中，所以原不等式等價于f[f^-1(-4^x+k·2^x-1]＜f(1)，恒成立

即-4^x+k·2^x-1＜0，k＜2^x+恒成立

∵2^x+的最小值為2     ∴k＜2．