Question

已知數列{a_n}，其前n項和為（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式，并證明數列{a_n}是等差數列；
（II）設c_n=，數列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由（n∈N^*）．能導出a_n=3n+2，n∈N^*．由a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N^*，能證明數列{a_n}是以5為首項，3為公差的等差數列．
（II）由a_n=3n+2，知c_n==，由裂項求和法能求出T_n=．由此能求出使不等式對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．
解答：解：（I）∵（n∈N^*）．
∴當n=1時，a₁=S₁=5，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=
=
=3n+2．
∵a₁=5滿足a_n=3n+2，
∴a_n=3n+2，n∈N^*．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N^*，
∴數列{a_n}是以5為首項，3為公差的等差數列．
（II）∵a_n=3n+2，
∴c_n=
=
=，
∴
=
=．
∵，n∈N^*，
∴T_n單調遞增．
∴．…（11分）
∴，解得k＜19，因為k是正整數，
∴k_max=18． …（12分）
點評：本題考查數列通項公式的求法和等差數列的證明，求使不等式對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．考查數列與不等式的綜合應用．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．