Question

（理）已知平面內動點P（x，y）到定點F(

5

，0)與定直線l：x=

4

5

的距離之比是常數

5

2

．
（ I）求動點P的軌跡C及其方程；
（ II）求過點Q（2，1）且與曲線C有且僅有一個公共點的直線方程．

Answer 1

分析：（ I）利用雙曲線定義，可知到定點F(

5

，0)與定直線l：x=

4

5

的距離之比是常數

5

2

的點的軌跡為雙曲線，在利用求雙曲線方程的方法去解即可．
（ II）與雙曲線C有且僅有一個公共點的直線有兩種，一種是與雙曲線相切，一種是平行漸近線，分兩種情況考慮即可．

解答：解：（ I）∵

5

2

＞1，
∴軌跡C為以F為右焦點，l為右準線的雙曲線．
設雙曲線C方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則

c= 5 a2 c = 4 5

，
∴a²=4．
∴b²=c²-a²=5-4=1．
∴雙曲線方程為

x2

4

-y2=1．
（Ⅱ）（1）若所求直線斜率不存在時，直線x=2滿足題意．
（2）若所求直線斜率存在時，設所求直線方程為y-1=k（x-2），
代入曲線方程

x2

4

-y2=1，得：

x2

4

-(kx-2k+1)2=1，
化簡得：（1-4k²）x²+8k（2k-1）x-4（2k-1）²-4=0，
①當（1-4k²）=0時，即k=±

1

2

時，
∵（2，1）在漸近線y=

1

2

x上，∴k=

1

2

時不適合，舍去.k=-

1

2

時，直線平行于漸近線y=-

1

2

x，滿足題意，
故所求直線方程為y=-

1

2

(x-2)+1，即y=-

1

2

x+2．
②當（1-4k²）≠0時，由△=64k²（2k-1）²-16（4k²-1）（4k²-4k+2）=0，
得k=

1

2

（舍去），綜上所述，所求直線方程為x=2，y=-

1

2

x+2．

點評：本題考查了雙曲線方程的求法，以及直線與雙曲線位置關系的判斷，計算量較大，應認真計算．