Question

已知函數f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx．
（1）若a＞0，求函數f（x）的極值點；
（2）若f（x）＞0，求a取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，再找到單調區間，從而找到極值點；
（2）x＞0，由f（x）＞0得|x+a|＞

lnx

2x

，分別討論當①0＜x＜1，

lnx

2x

＜0，得a∈R，②當x=1，|1+a|＞0得a≠-1，③當x＞1時的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）a＞0，x＞0，f(x)=x2+ax-

1

2

lnx，
f′(x)=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

，
f′(x)=0⇒x1=

-a- a2+4

4

＜0，x2=

-a+ a2+4

4

＞0，
f'（x）＜0⇒x∈（0，x₂）減函數，f'（x）＞0⇒x∈（x₂，+∞）增函數，
∴x2=

-a+ a2+4

4

是函數的極小值點，無極大值點．
（2）x＞0，由f（x）＞0得|x+a|＞

lnx

2x

，
當0＜x＜1，

lnx

2x

＜0，得a∈R，
當x=1，|1+a|＞0得a≠-1，
當x＞1，不等比等價于a＜-x-

lnx

2x

，或a＞-x+

lnx

2x

令g(x)=-x-

lnx

2x

，h′(x)=-1-

1-lnx

2x2

=

-2x2-1+lnx

2x2

令φ（x）=-2x²-1+lnx，
φ′(x)=-4x+

1

x

=

1-4x2

x

＜0(x＞1)，
φ（x）在（1，+∞）減函數，φ（x）＜φ（1）=-3＜0，
得g（x）在（1，+∞）減函數，g（x）∈（-∞，-1），
∴a＜-x-

lnx

2x

不恒成立．
又令h(x)=-x+

lnx

2x

，
∴h′(x)=-1+

1-lnx

2x2

=

-2x2+1-lnx

2x2

令ψ（x）=-2x²+1-lnx在（1，+∞）減函數，ψ（x）＜ψ（1）=-1＜0，
得h（x）在（1，+∞）是減函數，h（x）＜h（1）=-1，得a≥-1．
綜上，a取值范圍為：a＞-1．

點評：本題考察了函數的最值問題，函數的單調性，求參數的范圍，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．