Question

某學校共有高一、高二、高三學生2000名，各年級男、女生人數如圖：已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19．
（1）求x的值；
（2）現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在高三年級抽取多少名？
（3）已知y＞245，z≥245，以（y，z）為坐標構成平面直角坐標系的點，從這些點中任取3個，求滿足y-z＞0的點的個數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據頻率，頻數和樣本容量之間的關系，得到頻數的值等于頻率乘以樣本容量．
（2）根據高二男女生一起750人，又高一學生750人，所以高三男女生一起500人，按分層抽樣，做出高三年級應抽取的人數．
（3）根據所給的條件列舉出所有的事件，得到包含的事件數，滿足條件的事件女生比男生多，即y＞z的基本事件也可以列舉出共有5個結果，

解答：解：（1）由已知有

x

2000

=0.19，∴x=380；…（3分）
（2）由（1）知高二男女生一起750人，又高一學生750人，所以高三男女生一起500人，
按分層抽樣，高三年級應抽取

48

2000

×500=12人；…（6分）
（3）因為y+z=500，y＞245，z≥245，所以基本事件有：
y=246，z=254；y=247，z=253；y=248，z=252；y=249，z=251y=250，z=250；y=251，z=249，y=252，z=248；
y=253，z=247；y=254，z=246y=255，z=245一共11個基本事件．…（8分）
其中女生比男生多，即y＞z的基本事件有：
y=251，z=249，y=252，z=248；y=253，z=247；y=254，z=246；y=255，z=245
共5個基本事件，…（9分）
從這些點中任取3個，滿足y-z＞0的點的個數ξ的可能取值是0，1，2，3，
p（ξ=0）=

C 3 6

C 3 11

，P（ξ=1）=

C 2 6 C 1 5

C 3 11

，P（ξ=2）=

C 1 6 C 2 5

C 3 11

，P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 11

∴Eξ=

3

2

…（12分）

點評：本題是個中檔題．考查古典概型和幾何概型以及二項分布的期望求法，同時考查學生的閱讀能力和分析解決問題的能力．，本題解題的關鍵是列舉出所有的事件，做到不重不漏．