Question

在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若實數λ，μ滿足a+b=λc，ab=μc²，則稱數對（λ，μ）為△ABC的“Hold對”，現給出下列四個命題：
①若△ABC的“Hold對”為（2，1），則△ABC為正三角形；
②若△ABC的“Hold對”為(2，

8

9

)，則△ABC為銳角三角形；
③若△ABC的“Hold對”為(

7

6

，

1

3

)，則△ABC為鈍角三角形；
④若△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，則以“Hold對”（λ，μ）為坐標的點構成的圖形是矩形，其面積為

2 -1

2

．
其中正確的命題是

①③

（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：由△ABC的“Hold對”為（2，1），知

a+b=2c ab=c2

，解得△ABC為正三角形；由△ABC的“Hold對”為(2，

8

9

)，知

a+b=2c ab= 8 9 c2

，解得△ABC為鈍角三角形；由△ABC的“Hold對”為(

7

6

，

1

3

)，知

a+b= 7 6 c ab= 1 3 c2

，解得△ABC為鈍角三角形；△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，則以“Hold對”（λ，μ）為坐標的點構成的圖形不一定是矩形．

解答：解：∵△ABC的“Hold對”為（2，1），
∴

a+b=2c ab=c2

，
解得a=b=c，
∴△ABC為正三角形，
故①正確；
∵△ABC的“Hold對”為(2，

8

9

)，
∴

a+b=2c ab= 8 9 c2

，
解得a2+b2=

ab

2

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab 2 - 9 8 ab

2ab

=-

5

16

＜0，
∴△ABC為鈍角三角形，故②不正確；
∵△ABC的“Hold對”為(

7

6

，

1

3

)，
∴

a+b= 7 6 c ab= 1 3 c2

，
解得a²+b²=25ab×

1

12

=

25

12

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

25 12 ab-3ab

2ab

=-

11

24

＜0，
∴△ABC為鈍角三角形，故③正確；
△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，
則解得（λ，μ）之間滿足一個關系式：“1+2μ=λ的平方”這樣一個關系式，
圖象是拋物線，不是矩形．故構成的圖形不一定是矩形，
故④不正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意正確理解新定義．