Question

對于函數f（x）=

x+1

1+|x-1|

給出如下結論：①f（x）是非奇非偶函數；②f（x）的最大值是2，最小值是-1；③若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）．
其中正確結論的序號是

 

（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：①根據奇（偶）函數的定義證明；②利用x的范圍對解析式化簡，表示為分段函數再分類討論，利用分離常數法化簡解析式，判斷出各個范圍上的單調性和最值，并求出對應的函數值的范圍，再判斷即可；③根據②得到的結論進行判斷即可．

解答： 解：①函數的定義域是R，f(-x)=

-x+1

1+|-x-1|

=

-x+1

1+|x+1|

≠±f（x），
則f（x）是非奇非偶函數，①正確；
②由題意得f(x)=

x+1 x ，(x≥1) x+1 2-x ，(x＜1)

，
當x≥1時，y=

x+1

x

=1+

1

x

在區間[1，+∞）上單調遞減，則函數的最大值是2，且f（x）＞1；
當x＜1時，y=

x+1

2-x

=

-(2-x)+3

2-x

=-1+

3

2-x

在區間（-∞，1）上單調遞增，
則無最小值、無最大值，且-1＜f（x）＜2
綜上得，f（x）的最大值是2，無最小值，②錯誤；
③由②知，當x≥1時，函數f（x）滿足1＜f（x）≤2，
當x＜1時，函數f（x）滿足-1＜f（x）＜2，并在各個區間為單調函數，對應的值域有公共部分，
故存在x₁≠x₂，有f（x₁）=f（x₂）成立，③錯誤．
故答案為：①．

點評：本題考查函數的奇偶性，分段函數的單調性、最值問題，考查了分類討論思想和分離常數法化簡分式型的解析式．