Question

(本小題滿分16分)已知負數a和正數b，令a₁=a，b₁=b，且對任意的正整數k，當≥0時,有a_k+1=a_k，b_k+1=；當<0,有a_k+1 =，b_k+1 = b_k．（1）求b_n-a_n關于n的表達式； （2）是否存在a,b，使得對任意的正整數n都有b_n>b_n+1？請說明理由．（3）若對任意的正整數n，都有b_2n-1>b_2n，且b_2n=b_2n+1，求b_n的表達式．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             

Answer 1

(Ⅰ) b_n－a_n＝(b－a)()^n-1．  (Ⅱ) 不存在 (Ⅲ)

解析:

：(Ⅰ)當≥0時，b_k+1－a_k+1= -a_k= ；

當<0, b_k+1－a_k+1 = b_k- = ．

所以，總有b_k+1－a_k+1 = (b_k-a_k),                           ………………3分

因此，數列｛b_n－a_n｝是首項為b－a，公比為的等比數列．

所以b_n－a_n＝(b－a)()^n-1．　　　　　　　　　　　　　　　　………………5分

 (Ⅱ) 假設存在a,b，對任意的正整數n都有b_n>b_n+1，即a_n=a_n+1．

所以a_n =a_n-1…= a₁=a，又b_n－a_n＝(b－a)()^n-1，所以b_n＝a+ (b－a)()^n-1，……… 8分

又≥0,即a+ (b－a)()ⁿ≥0, 即2ⁿ≤， 

因為是常數，故2ⁿ≤不可能對任意正整數n恒成立．

故不存在a,b，使得對任意的正整數n都有b_n>b_n+1．　　　　　　　　…………11分

(Ⅲ)由b_2n-1>b_2n，可知a_{2n -1}=a_2n，b_2n=,

所以b_2n=，即b_2n-b_2n-1=-( b_2n-a_2n)=- (b-a) ()^2n-1．　　　　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             　 　

又b_2n=b_2n+1，故b_2n+1-b_2n-1=-( b_2n-a_2n)= (a-b) ()^2n-1,                  …………13分　            

∴b_2n-1= (b_2n-1-b_2n-3)+( b_2n-3-b_2n-5)+…+( b₃-b₁)+b₁

= (a-b)[ ()^2n-3+ ()^2n-5+…+ ()¹]+b=(a-b)+b= (a-b)[ 1- ()^n-1]+b．…15分

當n為奇數時，令n=2m-1,可得b_n=b_2m-1= (a-b)[ 1- ()^m-1]+b= (a-b)[ 1- ()^n-1]+b，

當n為偶數時，可得b_n=b_n+1= (a-b)[ 1- ()ⁿ]+b故……16分