Question

符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]，給出下列四個命題
（1）函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；
（2）方程{x}=

1

2

有無數(shù)個解；
（3）函數(shù){x}是周期函數(shù)；
（4）函數(shù){x}是增函數(shù)．
其中正確命題的序號有（　　）

A．（2）（3）

B．（1）（4）

C．（3）（4）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：利用[x]的定義，結(jié)合函數(shù)的定義域，值域周期性和單調(diào)性的定義分別進(jìn)行判斷．由周期函數(shù)的定義證明此函數(shù)為周期函數(shù)，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數(shù)的值域，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)

解答：解：（1）當(dāng)0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），∴（1）錯誤．
（2）當(dāng)x=

1

2

時，{x}=

1

2

，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=

1

2

+k時（k∈Z），{x}=

1

2

，∴（2）是正確的，
（3）∵函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴（3）是正確的，
（4）∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，∴（4）錯誤．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查新定義函數(shù) {x}=x-[x]的意義，通過舉反例來說明某個命題的正確性，是一種簡單有效的方法．